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《素数的阴谋》,[美] 托马斯·林编著,张旭成译,中信出版社,2020年3月出版,361页,59.00元

素数又称质数,是除1和自己以外没有其他因数的自然数。上了一定年纪的国人对“素数”这个概念肯定不陌生,徐迟1978年发表在《人民文学》上那篇轰动一时的报告文学《哥德巴赫猜想》在当时的流行程度不亚于现在的顶流明星。陈景润因为对哥德巴赫猜想的贡献成为那个时代的网红。哥德巴赫猜想的表述出奇地简单,简单到小学生都能明白:证明任何一个偶数都可以写成两个素数的和。然而这个问题又是如此复杂和深刻,到现在还是个悬而未决的世界难题。素数基本而神秘,既有序又无序。它们被纳入神秘主义和宗教仪式,并启发了音乐作品。数学家认为素数是宇宙的基础之一,科学家发现了素数和量子力学之间的深层联系,而这些联系至今仍然无法完全解释。

《素数的阴谋》结集了托马斯·林(Thomas Lin)创办并主编的《量子杂志》(Quanta,报道科学和数学最新发展的独立网刊)中关于数学的系列文章。不懂数学的人可能认为数学家每天都在和各种各样的数字打交道,但华莱士(David Foster Wallace)曾写过:“只有在几何、拓扑、分析、数论和数理逻辑的顶尖层次,有趣和深刻才真正开始,那时计算器和无上下文的公式都消失了,只剩下纸、笔和所谓的天才,即理性和狂热创造力的特殊结合,它体现了人类心智最好的地方。”书中既有在美国中餐馆刷盘子送外卖、近六十岁“高龄”解决世纪难题的张益唐,也有很小就获得国际奥数金牌的早慧型天才陶哲轩(Terrence Tao)、彼得·舒尔茨(Peter Scholze),既有曾经想当诗人和科学记者却被伯乐数学大师相中半路出家取得巨大成就的许俊珥(June Huh),也有第一位获得菲尔兹奖的华人丘成桐,既有会演奏印度传统乐器的音乐家曼纽尔·巴尔加瓦(Manjul Bhargava),也有巾帼不让须眉的玛丽亚姆·米尔扎哈尼(Maryam Mirzakhani)和玛丽娜·维亚佐夫斯卡(Maryna Viazovska)。

提起数学家,不得不提菲尔兹奖。菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项,因诺贝尔奖未设数学奖,故该奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”。菲尔兹奖每四年颁发一次,每次授予两至四名有卓越贡献的年轻数学家。获奖者必须在该年元旦前未满四十岁(数学行当的刻板印象认为数学是年轻人的游戏,超过四十岁的数学家很难有重大成果),每人能获得一万五千加币的奖金和金质奖章一枚。从1936年开始到2022年,全世界获菲尔兹奖的数学家一共才六十四人,足见含金量之高。菲尔兹奖分布最多的三个国家分别是美国、俄罗斯和法国。《素数的阴谋》中介绍了多位菲尔兹奖得主。

因《纽约客》长篇特写而出圈的华人数学家张益唐大器晚成,没有拿过菲尔兹奖,也因此突破玻璃天花板,成就了一段数学英雄不问年纪的佳话。在数论里,有一个和哥德巴赫猜想一样说起来很容易但至今无解的问题“孪生素数猜想”:证明有无数个相差2的素数对。张益唐通过多年默默无闻的努力,在这个问题上取得了突破性进展。乔治·奇切里(George Csicsery)的纪录片《大海捞针》(Counting From Infinity)是难得一见的让数学家当主角的纪录片,片中张益唐略显羞涩,用中国口音的英语说到自己在普渡大学博士毕业的时候,博导不喜欢中国学生,不愿意给他写推荐信。在最初求职期间,他有时会住在朋友的车里,白天去赛百味快餐店打零工。大约有七年时间,他在各种朋友那儿打零工。后来朋友帮他在州立大学找到一份讲师的工作,他也颇受学生欢迎。张益唐始终没有放弃对数学的追求,幸运总是给有准备的人,但灵感的闪现充满了偶然。2012年7月,张益唐去指挥家好友齐光家做客,齐光院子里经常有梅花鹿出没,张益唐想去看看有没有梅花鹿,鹿一直没有出现,但就在某一个瞬间,灵感出现了。张益唐找到了一个解答弱孪生素数猜想的关键点,之后很快写成文章发表在顶级数学期刊上,震惊了整个数学界。对于数学家的灵感何时以及如何出现,《素数的阴谋》说:“灵感的出现无章可循。”类似的瞬间还包括:一位数学家在公交车站想到了量子混沌系统;一位默默无闻的大学讲师在朋友的后院突然想到了一条证明数论定理的途径;一位统计学家在浴室水槽前产生顿悟,发现了解决不等式的关键。

张益唐

张益唐其实并没有彻底证明孪生素数猜想,而是证明了一个弱化版本:无论你在庞大的素数沙漠里走多远,你总会不停地发现相差小于七千万的素数对。重要的是他的方法和思路启迪了很多其他数学家。著名的华裔数学家陶哲轩在张益唐的基础上创立了博学者计划(Polymath Project)在线项目,通过联合全世界的数学家一起来改进这个结果,有点类似“脑力众筹”。

出生于澳大利亚的陶哲轩出名很早。家乡报纸的标题写道:“七岁的陶哲轩是个神童。”配了一张身材矮小的陶哲轩上数学课的照片。三年后,十岁的陶哲轩成为历史上国际数学奥林匹克奖牌的最年轻获得者。此后,他获得无数殊荣,包括麦克阿瑟奖和菲尔兹奖。

陶哲轩

陶哲轩多年后接受采访时承认,年轻时候的自己只是接触到了数学的皮毛,有点类似小朋友对音乐的唯一体验就是练习音阶或学习乐理。后来他逐渐发现,现代数学家必须像顶尖的爵士音乐家那样,既要能即兴创作,又要能与其他数学家紧密合作。

数学家的真正工作要到研究生阶段的后期才能体验到。普林斯顿大学的查尔斯·费弗曼(Charles Fefferman)本人曾是数学天才,后来成为菲尔兹奖得主,他将数学研究过程比喻为“与魔鬼下棋”。魔鬼的游戏规则很特别:魔鬼在国际象棋上的表现非常出色,但是,费弗曼解释说,你可以随心所欲地收回任何动作,而魔鬼可能不会。你玩了第一局,当然,他把你压垮了,所以你退后一步,尝试一些不同的东西,他以同样的方式又把你压垮。如果你足够狡猾,你最终会发现一个迫使魔鬼改变策略的举动;你还是输了,但是——啊哈!你有了第一个线索。

数学家和科学家总会给人一种刻板冷漠不近人情的印象。自古以来最伟大的数学家可能是十八世纪的德国人高斯(Carl Friedrich Gauss),他与自己的孩子相处不好,活着的时候也没有发表所有的研究成果;电影《美丽心灵》的主角约翰·纳什(John Nash)被偏执妄想折磨,一生活在幻象中;独自攻克了庞加莱猜想却拒绝菲尔兹奖的俄罗斯人格里戈里·佩雷尔曼(Grigori Perelman)三十多岁还住在妈妈家里啃老。相比之下,陶哲轩有一个美好的家庭,通常面带微笑。他的合作者评价道,陶哲轩让人想起《黑客帝国》中的尼奥。把武术下载到他的大脑中,他睁开眼睛就会功夫了。陶哲轩和他在研究生院一起玩桌上足球的朋友完成了一个著名猜想。对陶哲轩来说,这是一个新的数学领域,与他擅长的领域相去甚远。

现在陶哲轩成了数学界最著名的桥梁建设者和网红。在获得菲尔兹奖时,他已经与三十多位不同的合作者发表过文章。此后他还成为一位多产的数学博主,具有明显的非高斯热情:他庆祝他人的工作,分享技巧,记录进步,并对评论中的任何更正感到高兴。

德国人彼得·舒尔茨也是一个不折不扣的数学天才,但与陶哲轩风格迥异。他中学时参加国际数学竞赛连续四年获得三金一银,三十岁成为史上最年轻的菲尔兹奖得主。他用一年半读完了本科,一年读完了研究生,二十五岁成为波恩大学史上最年轻的数学教授。舒尔茨的关键创新虽然只有几年的历史,但已经在数论和几何结合的算术几何领域产生了深远的影响。许多数学家对舒尔茨的反应是“敬畏、恐惧和兴奋的混合体”。舒尔茨通常不是从想解决的特定问题开始,而是从一些难以理解的概念开始。他创建的数学结构在始料未及的数学领域有了巨大应用,这恰恰是伟大数学家的标志。打个比方,就好像古代为了解决两个城市之间的交通问题,传统数学家可能都在挖空心思研究怎样可以把道路修得更好,让马跑得更快,而舒尔茨是直接发明了飞机,还造了个飞机场。

《素数的阴谋》也关注音乐和科学之间不可言说的联系。很多人说,爱因斯坦如果没有成为科学家,可能会当乐手。这位业余小提琴手曾和洛杉矶爱乐乐团指挥阿图尔·罗金斯基凑过小乐队。2014年菲尔兹奖得主曼纽尔·巴尔加瓦是位多才多艺的音乐家,他将数学视为艺术,而非科学。他出生于加拿大,毕业于哈佛大学,喜爱演奏印度打击乐器塔布拉。他觉得如果成为一名专业音乐家,就没有时间做数学,但如果成为一名专业数学家,仍然可以腾出时间做音乐。于是巴尔加瓦当了数学家。

曼纽尔·巴尔加瓦

其实很多纯粹的数学家在思考时,不是在思考各种应用,而是在追求美。当数学家开始研究素数时,从未想过素数可以在现实世界中有任何应用,但它们现在已经变得至关重要,尤其是在密码学——加密科学中。我们每次通过互联网提供信用卡号和密码时,都希望是安全的,确保这一切的加密方案都会使用到素数。

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费曼说过:对于那些不懂数学的人来说,要理解自然的美、最深层次的美是很困难的。如果你想了解自然,欣赏自然,就必须理解她的语言。

丘成桐

1982年菲尔兹奖得主丘成桐自幼便对中国古典文学和历史有浓厚兴趣,造诣颇深,他在一次讲座中描述了数学与中国古典文学之关系,非常精彩:

数学家研究大自然所提供的一切素材,寻找它们共同的规律,并用数学的方法表达出来。这里所说的大自然比一般人所了解的来得广泛。我们认为数字、几何图形和各种有意义的规律都是自然界的一部分。我们希望用简洁的数学语言将这些自然现象的本质表现出来。

……数学家以其对大自然感受的深刻程度,来决定研究的方向。这种感受既有其客观性,也有其主观性,后者则取决于个人的气质。气质与文化修养有关,无论是选择悬而未决的难题,或者创造新的方向,文化修养皆起着关键性的作用。文化修养是以数学的功夫为基础,自然科学为辅,但是深厚的人文知识也极为要紧。因为人文知识也致力于描述心灵对大自然的感受,所以司马迁写史记除了“通古今之变”外,也要“究天人之际”。

刘勰在《文心雕龙·原道篇》说文章之道在于:

写天地之辉光,晓生民之耳目。

刘勰以为文章之可贵,在尚自然,在贵文采。他又说:

人与天地相参,乃性灵所集聚,是以谓之三才,为五行之秀气,实天地之灵气。灵心既生,于是语言以立。语言既立,于是文章着明,此亦原于自然之道也。

……广义相对论提出了场方程,它的几何结构成为几何学家梦寐以求的对象,因为它能赋予空间一个调和而完美的结构。我研究这种几何结构垂三十年,时而迷惘,时而兴奋,自觉同《诗经》《楚辞》的作者,或晋朝的陶渊明一样,与大自然浑为一体,自得其趣。

捕捉大自然的真和美,实远胜于一切人为的造作,正如《文心雕龙》说的:

云霞雕色,有踰画工之妙。草木菁华,无待锦匠之奇,夫岂外饰,盖自然耳。

在空间上是否存在满足引力场方程的几何结构是一个极为重要的物理问题,它也逐渐地变成几何中伟大的问题。尽管其他几何学家都不相信它存在,我却锲而不舍,不分昼夜地去研究它,就如屈原所说:

亦余心之所善兮,虽九死其犹未悔。

我花了五年工夫,终于找到了具有超对称的引力场结构,并将它创造成数学上的重要工具。当时的心境,可以用以下两句来描述:

落花人独立,微雨燕双飞。

数学家追求美,但数学行当对女性有相当严重的歧视,其程度甚至超过年龄歧视。据说康德曾经说过,女性“动用她们漂亮的脑袋思考几何问题时”会长出胡须。女性经常被告知研究数学将有损其社交魅力,还被迫听种种蠢话:比如想得太多的女性的血液会从生殖器官流向大脑,造成“非常可怕的后果”。《素数的阴谋》也没有忽略女性,虽然私底下总有人认为这是在发鼓励奖。历史上首位获得菲尔兹奖的女数学家是伊朗人玛丽亚姆·米尔扎哈尼,她自称是“慢”数学家,倾向于走更艰难的少有人走的道路。她说:“你必须忽略容易实现的目标,我不确定这是否是最好的做事方式,实际上——你一直在折磨自己。”米尔扎哈尼1977年出生于德黑兰,儿时如饥似渴地阅读并想成为一名作家。两伊战争在她中学时结束,高中时她连续两年获得国际奥数金牌。2004 年她在哈佛大学完成博士学位,后来成为普林斯顿大学和斯坦福大学的教授。米尔扎哈尼经常把大纸铺在地板上涂鸦,写各种方程式,她的女儿说像是在“画画”。“这就像迷失在丛林中”,米尔扎哈尼说,“并试图利用你能收集到的所有知识来想出一些新的把戏——如果运气好的话,你可能会找到出路”。可惜天妒英才,米尔扎哈尼四十岁时不幸患癌症去世。

玛丽亚姆·米尔扎哈尼

今年菲尔兹奖有了第二位女性得主——乌克兰的玛丽娜·维亚佐夫斯卡(Maryna Viazovska),她部分解决了高维空间中球堆积的问题。在三维空间中,怎样堆积球体最有效?其实就是我们常见的类似杂货店的托盘上堆积橙子的金字塔方式,但在四维或更高维度上答案并不可知。维亚佐夫斯卡将来自数论和八维对称理论的新技术引入到这个问题中,同时也将结果扩展到二十四维空间。她发明了新奇且出人意料的工具来解决难题。维亚佐夫斯卡最近专门为纪念在俄乌战争中不幸丧生、来自哈尔科夫的得过国际奥数银牌的年轻乌克兰女计算机科学家尤利娅·兹丹诺夫克萨(Yulia Zdanovksa)做了一场讲座。“当像她这样的人死去时,就像未来死去一样”,维亚佐夫斯卡说,“现在,乌克兰人正在为我们的信仰和我们的自由付出最高的代价”。

数学奥赛能否培养未来的数学家是国内一直以来争议不断的话题。正方认为数学竞赛是从小培养数学兴趣的最好途径,反方认为数学竞赛过度关注解题技巧,并没有真正提高数学能力和素养。如果研究一下国际奥数获奖名单和菲尔兹奖的关系,2010到2022年获得菲尔兹奖的十六位数学家中有七位在国际奥数得过奖。至少从数据来看,两者是有较高相关性的。国内数学界最出名的北大数学“黄金一代”——刘若川、恽之玮、袁新意、宋诗畅、肖梁和许晨阳都是当年数学奥赛的佼佼者,他们包揽了2018年、2019年、2020年的科学突破奖、新视野数学奖、拉马努金奖、斯隆研究奖、美国国家数学学会百年纪念奖等一系列国际数学界重量级奖项。目前他们在世界各大顶级名校担任教职,是中国未来数学家的中坚力量。

《素数的阴谋》让我们凡夫俗子也有机会一窥群星闪耀的数学家们插上想象的翅膀探索宇宙奥妙的英姿,让我们看到了数学大师和天才如何把优美疯狂的想法变为现实。

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    2022-09-08 00:31:14 

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